Plano de Aula

Equação de 2º grau

Público alvo: Alunos no 9ª ano (8ª série)

Duração:  24 aulas

Tema: Números

Objetivo Geral: Compreender e explorar em diferentes contextos os processos de cálculos para resolução de equações de 2º grau e enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.

Objetivos específicos: Traduzir situações que podem ser escritas por meio de equações do 2º grau, para em seguidas resolvê-las. Estudar as equações do 2º grau com uma incógnita, incluindo os procedimentos de resolução e as propriedades que envolvem as raízes dessas equações e a resolução de alguns problemas que utilizam equações desse tipo.

Justificativa: Contribuirá com entendimento referente à utilização da equação de 2º grau em nosso dia-a-dia; o estudo da equação demonstra a necessidade de conhecimento de formas de resolução, relacionando aplicações e aspectos históricos. Conseguindo despertar o aluno para o aprendizado, com isso fazer com que ele perceba que já consegue usar equação do 2º grau.

Procedimento Metodológico:

Dando atividades envolvendo geometria, em que é necessária a resolução do 2º grau para obter dimensões do retângulo. Orientar o aluno que desenhe o terreno com as medidas do comprimento e da largura de maneira a facilitar o entendimento. Com as atividades introduzir o conceito de equações do 2º grau com uma variável e identificar seus coeficientes.

Fazer questionamento para o aluno sobre a área de um quadrado:

-Como determinar a medida do lado de um quadrado conhecida a sua área?

-Se essa situação associarmos uma variável à medida do lado do quadrado, qual será o tipo de equação correspondente?

-Qual a solução dessa equação? Ela é única?

Podendo utilizar um esboço

x²=49

 Um terreno retangular tem seu comprimento excedendo a largura em 3m.

• Faça um desenho representando esse terreno.

• Utilizando a variável x para indicar a largura desse terreno, apresente uma expressão que represente a sua área.

• Se a área desse terreno é 130 m², qual a equação envolvendo a incógnita x que está associada a essa situação?

• Que tipo de equação você obteve? Você sabe como essa equação é chamada?

•    Encontre um valor aproximado para a medida dos lados do terreno.

Atividades que envolvam equações incompletas do 2º grau a uma incógnita, associadas com números quadrados perfeitos, para os alunos obterem soluções e explorando o oposto como outra solução, assim verificando que a solução negativa não representa uma medida, mas que algebricamente as duas soluções são viáveis. Com essas atividades introduzindo equações completas e incompletas. Estimulando o cálculo mental.

Atividade 1
Uma casa será construída em um terreno quadrado e terá, também, sua base quadrada. A área do terreno é de 420m² e a área não construída é de 164 m².

•   Indique por x as dimensões da casa.
•  Apresente uma equação que ilustre a situação descrita e cuja solução seja a medida do comprimento ou largura da casa.
•   Que tipo de equação é essa?
•     Procure estimar um valor para x que satisfaça essa equação. Esse valor é único?
•     Qual o valor de x que representará o comprimento ou largura da casa.

Atividade 2
A soma das áreas de dois quadrados é 410cm². Um deles possui 144 cm² de área.

• Represente uma equação cuja a solução seja a medida x do lado do quadrado de área desconhecida. Que tipo de equação é essa?
•  Procure estimar um valor para x que satisfaça essa equação. Esse valor é único?
•   Qual o valor de x que representará a medida do lado do quadrado desconhecido?

Com essas atividades introduzir o conceito de equações do 2º grau com uma variável, comentar que equações desse tipo ax² + bx + c = 0  que a, b e c são números reais e a é não nulo, são conhecidas como equações do 2º grau com uma incógnita. Os valores a, b e c são chamados de coeficientes da equação. Essa forma conhecida como forma reduzida ou forma geral.

Equações do 2º grau ax² + bx + c = 0 em que b e c são iguais á zero, são denominadas de equações incompletas do 2º grau com uma incógnita.

Que um número é chamado de raiz de uma equação do 2º grau com uma incógnita se esse número, quando substituído no lugar da incógnita , transformar a equação numa sentença verdadeira.

Sendo dados exercícios para fixação, verificando o que foi compreendido.

Exercícios de Revisão envolvendo produtos notáveis e fatoração (Diferença de dois quadrados, trinômios quadrados perfeitos e fator comum), assim introduzindo atividades onde os produtos notáveis serão bastante úteis. Porém, ao invés de desenvolvê-los será necessário que os alunos os reconheçam e os fatorem.

Atividades de resolução de problemas de equações do 2º grau incompletas, podendo utilizar os casos de fatoração. Em dupla realizarão atividades do caderno do aluno, leitura e Análise de Texto, sobre o completar quadrado, atividade de equações do 2º grau completo e incompleto utilizando o processo completar quadrado e algebricamente. Problemas envolvendo equações do 2º grau.

Utilizar o método completar o quadrado para chegar à fórmula que resolve qualquer tipo de equação do 2º grau.

• Considere a equação ax² + bx + c = 0, sendo “a” diferente “0”
• Como o valor de a é não nulo, divida ambos os membros por este valor.
• Isole os temos que envolvem a variável x.
• Agora observe a Figura:

•         Para completar o quadrado, qual a medida do lado do quadrado menor que deve ser considerada?

•        Voltando à equação com os termos que envolvem a variável x, isolados, acrescente a fração obtida anteriormente em ambos os membros da equação. Você deverá obter um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro.

•      Fatore esse trinômio quadrado perfeito.

• Ao isolar o termo      quais as possibilidades de solução?

• Finalmente isole a variável x.

Você deve ter obtido as seguintes possibilidades:

Simplificando essas fórmulas obtemos:

Costuma-se escrever em uma única fórmula:

  (sendo   
 

   chamado discriminante). Que é a fórmula resolutiva de uma equação do 2º grau.

Leitura do Texto

A Fórmula de Bháskara? 

Fonte: Revista do Professor de Matemática, 39(1999), p. 54

      O hábito de dar nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação de 2º grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960. Esse costume, aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional), não é adequado pois :

•       Problemas que recaem numa equação de 2º grau já apareciam, há quase 4.000 anos atrás, em textos escritos pelos babilônicos. Nestes textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensinava como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
•         Bhaskara que nasceu na Índia em 1.114 e viveu até cerca de 1.185 foi um dos mais importantes matemáticos do século 12. As duas coleções de seus trabalhos mais conhecidas são Lilavati ("bela") e Vijaganita ("extração de raízes"), que tratam de aritmética e álgebra respectivamente, e contêm numerosos problemas sobre equações de lineares e quadráticas (resolvidas também com receitas em prosa) , progressões aritméticas e geométricas, radicais, triadas pitagóricas e outros.
•        Até o fim do século 16 não se usava uma fórmula para obter as raízes de uma equação do 2º grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só começou a ser feito a partir da François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.

        Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação de 2º grau.

Os alunos desenvolverão alguns exercícios que utilizem a fórmula resolutiva, para sanar quaisquer dúvidas existentes. Logo, farão a situação de aprendizagem 2 do caderno do aluno.

Todas as atividades serão registradas no caderno, para possíveis comentários e analise de erros, junta a professora e os colegas.

Recursos Materiais: Livro didático, caderno do aluno e Xerox.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercEquacoesGrau2.pdf

Formas de Recuperação: avaliação continua através de novos exercícios e atividades diferenciadas.

Avaliação:

– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais
– resolução, em sala de aula, de questões desafio
– realização da atividade proposta no link